Definition
Categories and are equivalent if there exist functors
\eta: \text{id}\mathcal{C} \Longrightarrow G \circ F \quad \text{and} \quad \varepsilon:F \circ G \Longrightarrow \text{id}\mathcal{D}.
g_Z: F(X_Z) \longrightarrow Z
\begin{align*}
G: \mathcal{D} &\longrightarrow \mathcal{C}\
Z &\longmapsto X_Z \
Z_1 \xmapsto{f} Z_2 &\longmapsto X_{Z_1} \xmapsto{G(f)} X_{z_2}
\end{align*}
\eta: \text{id}\mathcal{C} \Longrightarrow G \circ F \quad \text{and} \quad \varepsilon:F \circ G \Longrightarrow \text{id}\mathcal{D}.
\begin{align*}
\varepsilon_Z:F(G(Z)) &\longrightarrow Z \
F(X_Z) &\longmapsto Z
\end{align*}
\eta_X:X \longrightarrow G(F(X)) = X_{F(X)}.
g_{F(X)}:F(X_{F(X)}) \longrightarrow F(X).
F(\eta_X):F(X) \longrightarrow F(X_{F(X)})
\begin{align*}
F: \text{vect}_{k,0} &\longrightarrow \text{vect}_k \
k^n &\longmapsto k^n\
k^m \xrightarrow{f} k^n &\longmapsto k^m \xrightarrow{f} k_n
\end{align*}
\begin{align*}
G: \text{vect}k &\longrightarrow \text{vect}{k,0}\
V &\longmapsto k^{\dim V}\
V \xrightarrow{f} W &\longmapsto k^{\dim V} \xrightarrow{\varphi_W \circ f \circ \varphi_V^{-1}} k^{\dim W}
\end{align*}